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Trigonometry formulas.

Trigonometric formula — common mathematical expressions for trigonometric functions that are performed for all values ​​of the argument.

Trigonometric functions

sin α,    cos α
tan αsin α,   α ≠ π + πn,   n є Z
cos α2
cot αcos α,   απ + πn,   n є Z
sin α
tan α · cot α = 1
sec α1,   α ≠ π + πn,   n є Z
cos α2
cosec α1,   απ + πn,   n є Z
sin α

Pythagorean identity

sin2 α + cos2 α = 1
1 + tan2 α1
cos2 α
1 + cot2 α1
sin2 α

Sum-Difference Formulas

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(αβ) = sin α · cos β – cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
cos(αβ) = cos α · cos β + sin α · sin β
tan(α + β) = tan α + tan β
1 – tanα · tan β
tan(αβ) = tan α – tan β
1 + tanα · tan β
cot(α + β) = cotα · cot β - 1
cot β + cot α
cot(α - β) = cotα · cot β + 1
cot β - cot α

Double angle formulas

sin 2α = 2 sin α · cos α
cos 2α = cos2 α - sin2 α
tan 2α2 tan α
1 - tan2 α
cot 2αcot2 α - 1
2 cot α

Triple angle formulas

sin 3α = 3 sin α - 4 sin3 α
cos 3α = 4 cos3 α - 3 cos α
tan 3α3 tan α - tan3 α
1 - 3 tan2 α
cot 3α3 cot α - cot3 α
1 - 3 cot2 α

Power-reduction formula

sin2 α1 - cos 2α
2
cos2 α1 + cos 2α
2
sin3 α3 sin α - sin 3α
4
cos3 α3 cos α + cos 3α
4

Sum (difference) to product formulas

sin α + sin β = 2 sin α + β cos α - β
22
sin α - sin β = 2 sin α - β cos α + β
22
cos α + cos β = 2 cos α + β cos α - β
22
cos α - cos β = -2 sin α + β sin α - β
22
tan α + sin β =  sin(α + β)
cos α · cos β
tan α - sin β =  sin(α - β)
cos α · cos β
cot α + sin β =  sin(α + β)
sin α · sin β
cot α - sin β =  sin(α - β)
sin α · sin β
a sin α + b cos α = r sin (α + φ),

where r2 = a2 + b2, sin φb , tan φb
ra

Product to sum (difference) formulas

sin α · sin β1(cos(α - β) - cos(α + β))
2
sin α · cos β1(sin(α + β) + sin(α - β))
2
cos α · cos β1(cos(α + β) + cos(α - β))
2

Tangent half-angle substitution

sin α2 tan (α/2)
1 + tan2 (α/2)
cos α1 - tan2 (α/2)
1 + tan2 (α/2)
tan α2 tan (α/2)
1 - tan2 (α/2)
cot α1 - tan2 (α/2)
2 tan (α/2)

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